立教大学

ベクトル空間中の超平面の有限集合として定義される超平面配置を、特に可換環論・ベクトル束といった代数・代数幾何的視点を用いて、その代数と幾何学・組み合わせ論との関連を探求しています。また超平面配置はルート系・ワイル群をその起源とするため、それらが関連する様々な数学、例えばHessenberg多様体や、余不変式環などの研究も行っています。

代数多様体(整数係数又は有理数係数の多項式の系の解集合)を研究する数論幾何学が研究テーマである。例えば、局所的な情報から定義されるゼータ関数と大域的に定義されるコホモロジー群という二つの不変量を比較することによって代数多様体に関する情報を得る。特にモチビック・コホモロジーと高次Ｋ—理論という不変量に対して興味がある。

主要研究テーマである「可積分系」とは、物理をはじめとする諸分野に現れる「良い」モデルの背後にある数学的構造を研究するものである。また、非線型現象全般にも興味をもっていて、2つのテーマの接点であるソリトン方程式を中心に研究を進めている。

研究テーマは可積分系、および関連する数理である。具体的には、物理に現れる微分方程式や差分方程式、特殊関数について、リー群やリー代数、ワイル群などの代数構造とその表現論を用いて解析している。最近は量子ゲージ理論や解析数論などに現れる多重ゼータ関数について研究を進めている。

素数たちの高次での様子を調べる代数的整数論を主な研究テーマとし、岩澤理論や数論トポロジーなどの問題意識に基づいて研究を行っている。特に、ガロア理論と類体論による群論的手法や計算機整数論などを応用して、より高次や無限次での様子を捉えることを目指している。

数理物理に由来する幾何学的な問題を、シンプレクティック幾何や代数幾何からのアプローチで研究している。最近はそれらの研究から得られた考え方を用いて、古典的な幾何学の問題に対して組み合わせ論的な新しい視点から考えることによって、これまでと異なる切り口を見いだすことを模索している。

計算代数システムの開発および計算代数アルゴリズムの研究をテーマとしている。代数方程式の求解、多項式イデアルの演算など、コンピュータ上で代数計算を行うためのアルゴリズムおよびソフトウェアとしての実装について主として計算効率の観点から研究を行っている。

無限次元リー代数と量子群の表現論を中心に、可積分系、特殊函数論、組合せ論、有限次元代数の表現論、幾何学的表現論、D-加群の理論などに興味を持っている。

専門は、作用素環論における部分因子環(subfactor)理論。現在の主要な研究テーマは、subfactorから構成されるモノイダル圏である。

整数論に限らず、数学の様々な分野に現れるゼータ関数の性質を調べることをテーマとする。主に、(a)3次元球面内の双曲結び目のAlexander多項式とその補空間に対して定義されるRuelleのゼータ関数との関係、(b)有限グラフに対して定義される伊原ゼータ関数と有限体上定義された代数曲線に伴うHasse-Weilの合同ゼータ関数に共通する性質、について研究している。

群、リー環などの代数系の表現論、またKdV方程式に代表される古典可積分系に現れる組合せ論的構造に興味を持っている。非線型の発展方程式など高度に解析的な対象がグラスマン多様体や対称群の既約指標といった組合せ論的なものでコントロールされているといういわゆる「佐藤理論」に感動。それが数学を続ける原動力となっている。

2次元格子上の可解な統計力学的な模型について研究している。非線形でありながら解くことのできる『可積分系』は、ソリトン方程式から場の量子論にまで現れ、Lie環の表現論などにも寄与しながら発展を続けている。可解格子模型の構成、およびその相関関数の求め方を中心に研究をしている。

現代暗号の安全性を支える数学問題の求解アルゴリズムを研究テーマとしている。具体的には、楕円曲線暗号の安全性を支える楕円曲線離散対数問題や、格子暗号の安全性を支える最短ベクトル問題などの格子問題に対して、効率的な求解法を研究すると共に、実際の計算機上でどこまで解けるのか試みている。